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(8)(x^2+x+1)exp(x+1/x)

こんにちわ。

今日は (x^2+x+1)exp(x+1/x)

を微分します。

x^2+x+1 と exp(x+1/x) 

が積になっているので、わけて考えます。

f(x)=(x^2+x+1)exp(x+1/x)

とすると、

f'(x)
={(x^2+x+1)}'exp(x+1/x))+(x^2+x+1){exp(x+1/x)}'
=(2x+1)exp(x+1/x)+(x^2+x+1)(exp(x+1/x))(1-1/x^2)
=(2x+1+(x^2+x+1)(1-1/x^2))exp(x+1/x)
=(2x+1+x^2+x+1-1-1/x-1/x^2)exp(x+1/x)
=(x^2+3x+1-1/x-1/x^2)exp(x+1/x)


exp(x+1/x)は合成関数なので、(x+1/x)を微分したもの

がくっついてきますよ~。

(7)cos(log(x))

こんばんわ。

今日は cos(log(x)) を微分してみます。

f(x)=cos(log(x))

とします。


もうこれは、cos(x)のxのかわりにlog(x)が
入っているので、合成関数となっているのが
すぐわかると思います。

g(x)=log(x)

とすれば

f(x)=cos(g(x))

となり、

f'(x)
=-sin(g(x))×g'(x)
=-sin(log(x))/x

です。

log(x)の微分が 1/x になっているのは
OKでしょうか。

もう、慣れてくれば、いちいちg(x)とか置かなくても
OKですよー。




(6)x/(1+x^2)^(1/2)

はい、こんばんわ。

今日は

x/(1+x^2)^(1/2)

を微分します。

f(x) = x/(1+x^2)^(1/2)

とします。

これは、分数の微分になっているので注意です。

分数の場合は、分子と分母に分けて考えます。

g(x) = x  (分子)
h(x) = (1+x^2)^(-1/2)  (分母)

とすれば、

f(x)=g(x)h(x)

となり、公式が使えます。

赤字にしたとおり、分母をマイナスの指数で考えることがコツです。

g'(x)=1
h'(x)=(-1/2)×((1+x^2)^(-1/2-1))×(2x)

h'(x)がこのようになるのは、OKでしょうか。

そうすると、

f'(x)
=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)
=1×1/(1+x^2)^(1/2)+x×(-1/2)×((1+x^2)^(-1/2-1))×(2x)
=1/(1+x^2)^(1/2)-(x^2)×(1+x^2)^(-3/2)
=(1/(1+x^2)^(1/2))×(1-x^2/(1+x^2))
=1/(1+x^2)^(3/2)

おお、計算してまとめたらスッキリしました。

計算ミスしてなければですが。

(5)(x^2)log(x^2+1/x^2+1)

こんばんわ。今日は

f(x)=(x^2)log(x^2+1/x^2+1)

を微分します。

複雑に感じるかもしれませんが、logの前にある

x^2 と log(x^2+1/x^2+1)

が掛け算になっているので、以下の公式

{g(x)h(x)}' = g'(x)h(x)+g(x)h'(x)・・・・①

に当てはめてやればOKです。

g(x)=x^2・・・・②

h(x)=log(x^2+1/x^2+1)・・・・③

とすれば、

g'(x)=2x・・・・④

なので、これはOKですよね。

問題はこの人。

h'(x)はどうなるのか、ということです。

h(x)は、log(x)と(x^2+1/x^2+1)の合成関数

なので、v(x)=x^2+1/x^2+1

とおくと、


h(x)=log(v(x))

h'(x)=(1/v(x))×v'(x)

(xで微分できないので、v(x)で微分する。そのあとにv'(x)をくっつける)

となります。

v'(x)=2x-2/x^3

なので、

h'(x)=(2x-2/x^3)/(x^2+1/x^2+1)・・・・⑤

となります。

①に②~⑤を代入すれば、

f'(x)
=(2x)log(x^2+1/x^2+1)+(x^2)(2x-2/x^3)/(x^2+1/x^2+1)
=(2x)log(x^2+1/x^2+1)+2(x^3-1/x)/(x^2+1/x^2+1)
=(2x)log(x^2+1/x^2+1)+2x(x^4-1)/(x^4+x^2+1)
=(2x){log(x^2+1/x^2+1)+(x^4-1)/(x^4+x^2+1)}


どこまでまとめるかはお好みで・・・。

できるだけスッキリした形で回答したいがゆえに時間をくうのは
ワシだけ??



(4)sin(cos(x))

はい、こんにちわ。

今日はsin(cos(x))を微分しますよ~。

f(x)=sin(cos(x))

g(x)=cos(x)

とすると、

f(x)=sin(g(x))

となるので、

f'(x)
=cos(g(x))×g'(x)
=cos(g(x))×(-sin(x))
=-cos(cos(x))sin(x)

ハイ、これで完了です。

合成関数の微分になっていることに注意です。

sinの中身がxじゃないときは、

後ろに中身を微分したものが

くっつくのデス。




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