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問題 再掲

以前次のような問題を出したと思います。
そのときはf(x)を変形して
相加・相乗平均を使って最大値を出しました。

------------------------------
f(x)=x/(1+2x^2) (0<x)

f(x)の最大値を求めなさい。
------------------------------

今回は微分してといてみたいと思います。
分数が出てくる微分については
分子、分母にわけて微分を使います。

つまり、分子のxと1/(1+2x^2)で

(g(x)h(x))'=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)

を使います。

また、1/(1+2x^2)は合成関数の微分です。

1/xと(1+2x^2)の合成関数です。

はい、じゃあやってみましょう。


f'(x)
=1/(1+2x^2)+x(1/(1+2x^2))'
=1/(1+2x^2)+x((1+2x^2)^(-1))'
=1/(1+2x^2)+x(-(1+2x^2)^(-2)*2*2x)
=1/(1+2x^2)-4x^2/(1+2x^2)^2
=(1-2x^2)/(1+2x^2)^2

f'(x)=0とする分子が0になればよいので

1-2x^2=0

x=√2/2 (x>0なので)

となります。

このとき

f(√2/2)=√2/4

となります。


さて、増減表をかいてみましょう。

注意すべきことは

x>0

lim(x→∞)f(x)
=lim(x→∞)(x/(1+2x^2)) 
=lim(x→∞)(1/(1/x+2x))
=0

f(0)=0

ですので、 



はい、できました。

最大値は√2/4ですねー。

微分して増減表を書いたほうが関数の形が見えるので
いいッス。
相加・相乗平均は今回は使えたけど、
使えない関数のほうが多いので、もし思いついたら
最大値があってるな、程度に使うのがいいでしょう。

もし2通りの方法で結果が違う場合は、
計算がミスっているか、やり方が間違っているか
のどちらかでしょう。




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まとめ【問題 再掲】

以前次のような問題を出したと思います。そのときはf(x)を変形して相加・相乗平均を使って最大値を出しま

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