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解と係数の関係

おはようございます。

今回は二次方程式の解について書きたいと思います。

ax^2+bx+c=0

の解はD≧0のとき

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

となり、2つの解がありますが、それぞれをα、βとおくと

α=(-b+√(b^2-4ac))/2a
β=(-b-√(b^2-4ac))/2a・・・・・(1)

となります。


ここでそもそも解ってどんな形をしていたかなーと考えると、
例えば

x^2-3x+2=0

であれば因数分解して

(x-1)(x-2)=0

よって解は1または2となります。

これを

ax^2+bx+c=0

にも当てはめると、まずaが邪魔なのでaで割ります

x^2+bx/a+c/a=0・・・・①

さて、この方程式の解はαとβとしたので

(x-α)(x-β)=0・・・・②

と因数分解できるはずです。

ここで式②を展開してみると

x^2-(α+β)x+αβ=0・・・・③


ここで①と③をよーく見比べてください。
式が思い浮かびませんか?
①と③は同じ式です。同じです。
同じなので、係数も同じになるはずです。

xの係数、定数項で式を作ると

-(α+β)=b/a → 両辺にマイナスを掛けて

α+β=-b/a

αβ=c/a


これが解と係数の関係です。
(1)を計算してみてください。結果は同じになるはずです。
D<0のときも同様に成り立ちます。

D<0のときの解は複素数となるので、解と係数の関係のほかにいろいろな性質があります。

今日はここまで!




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二次方程式

おはようございます。

今回は二次方程式について書いてみようと思います。

二次方程式とは、

ax^2+bx+c=0・・・・・①

というかたちをしています。

a≠0です a,b,cは実数とします。

さて、これをxについて解こうとするとどうなるか?

まずは平方完成させます。

a(x^2+(b/a)x)+c=0
(aを前に出す,b→b/a)

a(x+b/2a)^2+c-a(b/2a)^2=0
(x^2→x,(b/a)x→b/2a,カッコ全体を2乗,c→c-a(b/2a)^2)

a(x+b/2a)^2=b^2/4a-c
(c-a(b/2a)^2を移行,カッコはずし)

a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a
(b^2/4a-cをまとめる 分数の足し算 )     

(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2
(両辺をaで割る)

ここでxが実数であるならば、(x+b/2a)^2≧0なので  

(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2≧0

よって b^2-4ac≧0 でなければなりません。

D=b^2-4acとすると

(1)D>0のとき
①は2つの実数解をもつ。

このとき方程式は
(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2
x+b/2a=±√(b^2-4ac)/2|a|
x+b/2a=±√(b^2-4ac)/2a  ・・・・※

∴x=(-b±√(b^2-4ac))/2a・・・・②  

※(絶対値をはずすとき、a>0であれば|a|=a, 
a<0であれば|a|=-a ルートの前に±があるので、
2通り計算しても絶対値をはずす前と同じ結果)

       
(2)D=0のとき
①は重解となる。このときx=-b/2a

(3)D<0のとき

①は2つの複素数の解をもつ。
ルートの中身は必ずゼロ以上でなければならないが、
便宜的に√(-1)をiとおくと
②を変形して   

x=(-b±i√(4ac-b^2))/2a

となります。


さて、方程式を絵にするとどうなるか考えてみようと思います。
ここで、f(x)=ax^2+bx+cとし、y=f(x)のグラフを描くと

(1)D>0のとき
 x軸と2つの交点を持つ。そのときのxの値が二次方程式の解。
(2)D=0のとき
 x軸と1点で接する。そのときのxの値が二次方程式の解。
(3)D<0のとき
 x軸と交点を持たない。

となります。



今回はあえて計算過程を詳しく書きました。
解の公式を導き出すために、いろいろなルールを使っています。
数学は積み重ねだなーと改めて感じます。
公式だけ暗記はしないほうがいいです。
公式の導出過程とその結果どういう意味を持っているのかが重要だと思います。
数式は理解しにくいですが、絵に描くと「ああ、なるほど」と思うことが
あると思います。

次回は解の性質について書きたいと思います。


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