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問題 再掲

以前次のような問題を出したと思います。
そのときはf(x)を変形して
相加・相乗平均を使って最大値を出しました。

------------------------------
f(x)=x/(1+2x^2) (0<x)

f(x)の最大値を求めなさい。
------------------------------

今回は微分してといてみたいと思います。
分数が出てくる微分については
分子、分母にわけて微分を使います。

つまり、分子のxと1/(1+2x^2)で

(g(x)h(x))'=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)

を使います。

また、1/(1+2x^2)は合成関数の微分です。

1/xと(1+2x^2)の合成関数です。

はい、じゃあやってみましょう。


f'(x)
=1/(1+2x^2)+x(1/(1+2x^2))'
=1/(1+2x^2)+x((1+2x^2)^(-1))'
=1/(1+2x^2)+x(-(1+2x^2)^(-2)*2*2x)
=1/(1+2x^2)-4x^2/(1+2x^2)^2
=(1-2x^2)/(1+2x^2)^2

f'(x)=0とする分子が0になればよいので

1-2x^2=0

x=√2/2 (x>0なので)

となります。

このとき

f(√2/2)=√2/4

となります。


さて、増減表をかいてみましょう。

注意すべきことは

x>0

lim(x→∞)f(x)
=lim(x→∞)(x/(1+2x^2)) 
=lim(x→∞)(1/(1/x+2x))
=0

f(0)=0

ですので、 



はい、できました。

最大値は√2/4ですねー。

微分して増減表を書いたほうが関数の形が見えるので
いいッス。
相加・相乗平均は今回は使えたけど、
使えない関数のほうが多いので、もし思いついたら
最大値があってるな、程度に使うのがいいでしょう。

もし2通りの方法で結果が違う場合は、
計算がミスっているか、やり方が間違っているか
のどちらかでしょう。




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微分と接線と指数その2

こんばんワンダフォー。

すみません、前回の問題で計算ミスってましたので

コソーリなおしました、てへっ。



前回の問題は、

----------------------------------------------------

f(x)=(8/3)x(x+1)(x-1)

に接している直線がある。

この直線が点(0,2)を通るとき、直線の傾きを求めなさい。

----------------------------------------------------

でした。

前回は直線側から見て(接していない直線が接するのだから~)

いましたが、今回はf(x)から見た場合でといてみます。


(2)f(x)から見た場合

f(x)上の点を適当に(t,f(t))とか置いちゃいます。

この点における接線はどうあらわされるでしょうか。

接線は、直線です。

直線は2点が定まれば求められることは基本ですが、

もう一つ思い出されるのが、これ。

変化の割合と1点が与えられれば
直線が求まる


直線といっても、いろんなやり方で求めることができるので、

そのときにあったやり方をチョイスしていくのがよろしいと思います。

ハイ、じゃあここで変化の割合ってなんですかー、というと

前にもどっかで書いたような気がしますが、

変化の割合=傾き=微分する

です。(t,f(t))での傾きはf(x)を微分してxにtを代入すればOKです。

ながなが書きましたが、要するに、傾きは

f'(t)

となります。

さて、ここで、1点は、(t,f(t))ですので、接線は

y-f(t)=f'(t)(x-t)・・・①

この式、かなり重要だとおもいます。

問題にもどりますと、この接線が、(0,2)を通るので

①に代入します。

2-f(t)=-t・f'(t)

ここで

f(t)
=(8/3)t(t+1)(t-1)
=(8/3)(t^3-t)

f'(t)
=(8/3)(3t^2-1)・・・②

を代入します。

2-(8/3)・(t^3-t)=-t・(8/3)(3t^2-1)
2-(8/3)t^3+(8/3)t=-8t^3+(8/3)t
(8-8/3)t^3=-2
(16/3)t^3=-2
t^3=-3/8

よって

t=-(3^(1/3))/2

これを②に代入してやればいいのさ~

f'(-(3^(1/3))/2)
=(8/3)(3(3^(2/3)/4)-1)
=2・(3^(2/3))-8/3

この考え方は、f(x)に接している接線を求めて、それが(0,2)を通るんだから~

ということです。

見方によって、とき方が変わってくるのです!!

こっちのほうが最初がf(x)側から考えているので、とっつきにくいかも

しれませんが、計算は楽です。3次方程式の解の公式など考えなくても

おkです。


2通りやってみましたが、自分の思いついた方法を大事にしたほうが

いいと思うなぁ。そんで自分のやり方で最後までといてみる。

解答は一通りしか書いてないかもしれないけど、2方向や3方向から

考えると間違いにも気づくし、行き詰ったときに、こっちから攻めてみようー

ってなるから。

それに、なんかちょっと感動しませんか。



山を登る人もいれば川を下る人もいる。

でも最終的には同じところにたどり着いた~あはは~


微分と接線と指数

こんばんわ。

今日は問題をやってみようと思います。


f(x)=(8/3)x(x+1)(x-1)

に接している直線がある。

この直線が点(0,2)を通るとき、直線の傾きを求めなさい。



こんな問題があったらどうしますか。


問題文には必ずヒントがある。隠されているのです。

言葉には意味がある。

そして、どっちから見てるの?みたいなことも。

見てる方向によって解き方がかわってくると思います。

でも最終的には同じになる。


(1)直線からみた場合

まず絵をかいてみましょうか。

f(x)を見た瞬間にヒントが隠されている。

すでに因数分解されているではありませんか。

こういう場合は、x軸との交点がすぐわかります。

f(x)=0

とするとx=0,1,-1でx軸で交わります。

グラフの形を描くのに役立ちます。(参考程度に)


はい、次は本題の増減表です。

f(x)
=(8/3)x(x+1)(x-1)
=(8/3)(x^3-x)

f'(x)
=(8/3)(3x^2-1)

f'(x)=0とすると

3x^2=1

x=±1/√3

f(-1/√3)
=(8/3)(-1/3√3+1/√3)
=(16√3)/27

f(1/√3)
=-(16√3)/27



増減表がかければグラフもかける。無理して極小値、極大値まで出さなくてもOKですよ~

使わないので。


さて、この関数に直線が接しているので

赤で直線もかいてみましょうか。




直線の傾きって言ってるんだから、適当にaとかって置いちゃったらどうだい的な。

求めるものを文字に置くのは基本でございます。

y=ax+b

はい、この直線が(0,2)を通るって言ってるんだから、

(0,2)を入れてみる。(あ、切片だから最初からb=2でよかったか)

2=b

よって、直線の方程式は、

y=ax+2

よし、ちょっとわかりやすくなった。

この直線がy=f(x)と接している・・・接している

この接しているっていのが重要だったりするんですねぇ

接しているところでは、x座標もy座標も同じになる。判別式は0でした。

(8/3)(x^3-x)=ax+2

整理してみましょう。

x^3-(3a/8+1)x-3/4=0   ・・・・①

三次関数の判別式なんてあったっけか。(あるけど、覚えてない)

終わった、これは詰まった・・・・






ところがどっこい!!ワシは諦めない!!




①の式を因数分解するとどうなるか。

たとえば2次方程式が重解を持つときは、(x-c)^2=0

という形になりましたね。

3次関数であれば

(x-α)(x-β)^2=0・・・②

となるはず。

接する=重解=方程式の中に(x-c)^2みたいに出てくる。

この方程式が①と同じなんだから見比べてみよう。

②をちょっと変形して①と同じ形に。

(x-α)(x^2-2βx+β^2)=0
x^3-(α+2β)x^2+(β^2+2αβ)x-αβ^2=0

これが

x^3-(3a/8+1)x-3/4=0

と同じなので、係数を比較してやればOK牧場。(つっこみ厳禁)

α+2β=0・・・・・・・・・・③
β^2+2αβ=-(3a/8+1)・・・・④
-αβ^2=-3/4・・・・・・・・⑤

うほっ、なんかいけそうな気がしてきた!!

③からα=-2β
⑤に代入してβ^3=-3/8
β=-3^(1/3)/2

分子は3の三乗根が出てきました。前にも書いたかもしれませんが
3回同じものをかけて3になる数です。
分母は8は2を3乗するのでいいですよね。
マイナスは、3回かけるとマイナスなのでくっついてきます。

④を変形
β^2+2αβ=-(3a/8+1)
β^2+2(-2β)β=-(3a/8+1)
-3β^2=-(3a/8+1)

a
=8β^2-8/3
=8・(-3^(1/3)/2)^2-8/3
=2・(3^(2/3))-8/3


はへー、やっとこさできました。







問題

f(x)=x/(1+2x^2) (0<x)

f(x)の最大値を求めなさい。


まずf(x)を次のように変形します。

f(x)=1/(1/x+2x)

ここで相加相乗平均を使うと

1/x+2x≧2√(1/x×2x)=2√2

逆数にすると以下のようになります。

1/(1/x+2x)1/2√2=√2/4

不等号の向きが逆になるので注意です。


よって

f(x)≦√2/4

となります。

このときのxは

1/x=2x

となるときなので、x>0に注意して

x=√2/2

となります。


最大値を求める方法は他にもあります。

微分して求める方法については

後ほど。





問題

こんばんわ。
前回に続いて、g(a)の最小値を求めたいと思います。

g(a)
=-8a^2+16a  (2/3≦a)
=a^2+4a+4  (a<2/3)

t≦a≦t+1での最小値 m(t)


えー、まずグラフを描きます。

(1)2/3≦a のとき

g(a)
=-8a^2+16a
=-8(a^2-2a)
=-8(a-1)^2+8

(2)a<2/3 のとき  

g(a)
=a^2+4a+4
=(a+2)^2



このグラフで

t≦a≦t+1

の最小値を求めればいいのですが、tの値がわかりません→場合わけ
ではどのように場合わけを行ったらいいのでしょうか。
二次関数の最小値は、頂点が含まれているかどうかによって異なります。
よって頂点が含まれるところと含まれないところで場合わけを行います。
また、g(a)は途中で関数がかわっているので、変わり目でも注意が必要です。

①t+1<-2
②t≦-2≦t+1
③-2<t≦α
④α<t

ここでαとした点は、

-8(t+1)^2+16(t+1)
=t^2+4t+4

の解です。
つまりα=(-2+√10)/9



まとめると

①t<-3 のとき
m(t)=g(t+1)=(t+3)^2

②-3≦t≦-2 のとき
m(t)=g(-2)=0

③-2<t≦(-2+√10)/9 のとき
m(t)=g(t)=(t+2)^2

④(-2+√10)/9<t のとき
m(t)=g(t+1)=-8t^2+8


テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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