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(10)log(log(x))+1/(1+cos(x))^3

今日は
log(log(x))+1/(1+cos(x))^3
を微分します。

f(x)=log(log(x))+1/(1+cos(x))^3
と置きます。

f'(x)
={log(log(x))}'+{1/(1+cos(x))^3}'
=(1/log(x)){log(x)}'+(-3)(1+cos(x))^(-4){1+cos(x)}'
=1/xlog(x)+((-3)/(1+cos(x))^4)(-sin(x))
=1/xlog(x)+3sin(x)/(1+cos(x))^4


logの微分は中身を微分するのを忘れれないように・・・
{log(なかみ)}'
=(1/なかみ){なかみ}'


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(9)tan(log(sin(x)))

おはようございます。

今日は

f(x)=tan(log(sin(x)))

の微分をします。

式がごちゃごちゃしているので、

まず、log(sin(x))=g(x)とでもしましょうか。

そうすると、

f(x)=tan(g(x))

となります。はい、これは合成関数の微分
をすればOKですね。

---------------------------------------
ここでtan(x)の微分の復習

{tan(x)}'
={sin(x)/cos(x)}'            分子と分母に分けて微分
=cos(x)/cos(x)+sin(x){1/cos(x)}' 
=1+sin(x)(-(cos(x))^(-2)(-sin(x)))  分数は(-1)乗とかんがえる。
=1+(sin(x))^2/(cos(x))^2
=((sin(x))^2+(cos(x))^2)/(cos(x))^2
=1/(cos(x))^2

---------------------------------------

f'(x)
={tan(g(x))}'
=g'(x)/(cos(g(x)))^2

はい、あとは
g(x)=log(sin(x))

を微分してやって代入すればOKです。
g'(x)
={log(sin(x))}'
=cos(x)/sin(x) (logの中身が分母になって、中身を微分したものがくっつく)

よって

f'(x)
=g'(x)/(cos(g(x)))^2
=(cos(x)/sin(x))/(cos(log(sin(x))))^2
=cos(x)/sin(x)(cos(log(sin(x))))^2

(8)(x^2+x+1)exp(x+1/x)

こんにちわ。

今日は (x^2+x+1)exp(x+1/x)

を微分します。

x^2+x+1 と exp(x+1/x) 

が積になっているので、わけて考えます。

f(x)=(x^2+x+1)exp(x+1/x)

とすると、

f'(x)
={(x^2+x+1)}'exp(x+1/x))+(x^2+x+1){exp(x+1/x)}'
=(2x+1)exp(x+1/x)+(x^2+x+1)(exp(x+1/x))(1-1/x^2)
=(2x+1+(x^2+x+1)(1-1/x^2))exp(x+1/x)
=(2x+1+x^2+x+1-1-1/x-1/x^2)exp(x+1/x)
=(x^2+3x+1-1/x-1/x^2)exp(x+1/x)


exp(x+1/x)は合成関数なので、(x+1/x)を微分したもの

がくっついてきますよ~。

(6)x/(1+x^2)^(1/2)

はい、こんばんわ。

今日は

x/(1+x^2)^(1/2)

を微分します。

f(x) = x/(1+x^2)^(1/2)

とします。

これは、分数の微分になっているので注意です。

分数の場合は、分子と分母に分けて考えます。

g(x) = x  (分子)
h(x) = (1+x^2)^(-1/2)  (分母)

とすれば、

f(x)=g(x)h(x)

となり、公式が使えます。

赤字にしたとおり、分母をマイナスの指数で考えることがコツです。

g'(x)=1
h'(x)=(-1/2)×((1+x^2)^(-1/2-1))×(2x)

h'(x)がこのようになるのは、OKでしょうか。

そうすると、

f'(x)
=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)
=1×1/(1+x^2)^(1/2)+x×(-1/2)×((1+x^2)^(-1/2-1))×(2x)
=1/(1+x^2)^(1/2)-(x^2)×(1+x^2)^(-3/2)
=(1/(1+x^2)^(1/2))×(1-x^2/(1+x^2))
=1/(1+x^2)^(3/2)

おお、計算してまとめたらスッキリしました。

計算ミスしてなければですが。

(5)(x^2)log(x^2+1/x^2+1)

こんばんわ。今日は

f(x)=(x^2)log(x^2+1/x^2+1)

を微分します。

複雑に感じるかもしれませんが、logの前にある

x^2 と log(x^2+1/x^2+1)

が掛け算になっているので、以下の公式

{g(x)h(x)}' = g'(x)h(x)+g(x)h'(x)・・・・①

に当てはめてやればOKです。

g(x)=x^2・・・・②

h(x)=log(x^2+1/x^2+1)・・・・③

とすれば、

g'(x)=2x・・・・④

なので、これはOKですよね。

問題はこの人。

h'(x)はどうなるのか、ということです。

h(x)は、log(x)と(x^2+1/x^2+1)の合成関数

なので、v(x)=x^2+1/x^2+1

とおくと、


h(x)=log(v(x))

h'(x)=(1/v(x))×v'(x)

(xで微分できないので、v(x)で微分する。そのあとにv'(x)をくっつける)

となります。

v'(x)=2x-2/x^3

なので、

h'(x)=(2x-2/x^3)/(x^2+1/x^2+1)・・・・⑤

となります。

①に②~⑤を代入すれば、

f'(x)
=(2x)log(x^2+1/x^2+1)+(x^2)(2x-2/x^3)/(x^2+1/x^2+1)
=(2x)log(x^2+1/x^2+1)+2(x^3-1/x)/(x^2+1/x^2+1)
=(2x)log(x^2+1/x^2+1)+2x(x^4-1)/(x^4+x^2+1)
=(2x){log(x^2+1/x^2+1)+(x^4-1)/(x^4+x^2+1)}


どこまでまとめるかはお好みで・・・。

できるだけスッキリした形で回答したいがゆえに時間をくうのは
ワシだけ??



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