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こんばんわ。

砂埃が立ち上がり、なんともいえない海のにおいがします。

満潮になれば道路に水がたまります。

ブルーシートで覆われている屋根があります。



町の復興を心から願います。




今日は、相加相乗平均を使うタイミングってどんなとき
か考えてみます。

変数が2つあって、それぞれが0より大きい場合に適用する
もので、さらに最小値を出す場合です。


a+b≧2√ab


このままでは√abの値が定まらないので最小値は出ません。
なので、よくあるパターンは、ab=定数 となる場合です。

例えば、
a=x^2
b=1/x^2
(x≠0)

とすると

x^2+1/x^2≧2

となり、最小値がでます。




こんな問題はどうでしょうか。

f(x)=x/(1+2x^2) (0<x)

f(x)の最大値を求めなさい。








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相加相乗平均

おはようございます。
今日は相加相乗平均について書こうと思います。

0<a、0<bのとき

a+b≧2√ab

が成り立ちます。
等号が成立するのはa=bのときです。

不等式を証明する場合は基本的には
(左辺)-(右辺)≧0
を示せばよい
のですが、今回はルートがついているので
aを(√a)^2とひらめけばいいのですが、ひらめかない場合は
「なんじゃこれは」
となってしまうのではないでしょうか。

不等式を証明する場合、両辺が正あれば2乗する方法もあります。

たとえば2と3を比較すると
3>2
ですが、
3^2>2^2
も成り立ちます。

2と-3を比較すると
2>-3
2^2<(-3)^2
となり、不等号の向きが変わってしまいます。

なので、両辺が正でないと使えません。


(左辺)^2-(右辺)^2
=(a+b)^2-(2√ab)^2
=a^2+2ab+b^2-4ab
=a^2-2ab+b^2
=(a-b)^2≧0

等号が成立するときa-b=0
すなわちa=bとなります。

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