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指数とは

こんばんわ。

今日は指数関数について書こうと思います。

例えば下記のように、正の整数を指数とすると

2^2=4

2^3=8

2^4=16





となります。

これを、2^(1.5)とか、2^(-1.2)なども含めて

f(x)=2^x

というように、指数をxとしたものを考えます。(xは実数とする)


このグラフを描くと



のようになります。

ここで注意したいのは、

2^(-1)=1/2^1=1/2
2^(-2)=1/2^2=1/4



となることです。

また、小数点については

2^(1.5)
=2^(15/10)
=2^(3/2)
=2^(1+1/2)
=2×2^(1/2)
=2√2

となります。
今回は指数が1/2だったので上記のようになりましたが
2^(1/3)のような数は、2の三乗根となります。
言い換えると、同じものを3回かけて2になる数です。

今回は2^xを例にしましたが、2の部分を正の数aとして一般化すると

f(x)=a^x

となります。

さて、aにいろいろな値を入れてみましょう。

a=1/2のときはどうでしょうか。

グラフはxが大きくなるにつれてf(x)→0となって行きます。
またxが負の数であれば、f(x)の値は大きくなります。

a=1のときはどうでしょうか。
グラフはxの値に関係なく、f(x)=1となります。

つまり、f(x)=a^x は

0<a<1 のとき右下がり
a=1  のとき1
1<a  のとき右上がり


のグラフになります。




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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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