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円の方程式

おはようございます。
今日は円の方程式について書こうと思います。

たとえば、半径1、円の中心が(0,0)の円の方程式は

x^2+y^2=1

とあらわされます。

半径2、円の中心が(1,0)であれば

(x-1)^2+y^2=2^2

一般的に、半径r,円の中心が(a,b)の円の方程式は

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2・・・・①

となります。

この絵の描き方は、

まずx軸、y軸の直線を描いて、
座標(a,b)に点を打ちます。そこから半径がrとなるように円を
描けばOKです。
x軸、y軸との交点は、余裕があったら求めましょう。

円の方程式は①で描くことができますが、三角関数を用いて
以下のように表現できます。

x=a+rcosθ
y=b+rsinθ
(0≦θ<2π)・・・・②

これは、点(a+r,b)からスタートして、反時計回りに円を描くことになります。



ここで思い出していただきたいのが

(cosθ)^2+(sinθ)^2=1

という公式です。これは半径1、中心が(0,0)の円を描きます。

この両辺にr^2をかけてみると(拡大、縮小)

(rcosθ)^2+(rsinθ)^2=r^2

ここで

x=rcosθ
y=rsinθ

とすると、これは中心が(0,0)で半径rの円です。

x^2+y^2=r^2

この円をx軸方向にa,y軸方向にb平行移動すると

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

ハイ、①と同じになりました。

また、yについて解くと

y=b±(r^2-(x-a)^2)^(1/2)

となり、2通りの関数がでてきますが、y=bの直線を
対象に上下の半円を表しています。

一方②では、θという変数が必要となるものの、
一通りの関数で済みます。



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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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