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いろいろな変換

こんばんは。
今回はいろいろな変換を紹介したいと思います。

sin(-θ)=-sin(θ)・・・・①

cos(-θ)=cos(θ)・・・・・②

sin(θ+π/2)=cos(θ)

sin(π/2-θ)=cos(θ)

sin(θ+π)=-sin(θ)

sin(π-θ)=sin(θ)

sin(θ+3π/2)=-cos(θ)

sin(3π/2-θ)=-cos(θ)

cos(θ+π/2)=-sin(θ)

cos(π/2-θ)=sin(θ)

cos(θ+π)=-cos(θ)

cos(π-θ)=-cos(θ)

cos(θ+3π/2)=sin(θ)

cos(3π/2-θ)=-sin(θ)

上記の式は加法定理からも出すことはできますが、
単位円を書いて求めたほうが視覚的にはピンときます。
上記の式は覚えるのではなくて、導き出すものでしょう。



例えば、sin(θ+π/2)、cos(θ+π/2)を例とすると
この絵を描くときのコツは、θを鋭角とみなすことにあります。
θは鋭角なので、π/2をすぎて、ちょっと行ったところでsin、cosの値がありそうです。
ここで、この点をPとして,Pからy軸におろした足をQとします。

そうすると、三角形OPQにおいて、

PQ=sin(θ)
OQ=cos(θ)

となるのがわかります。Pのx座標は負となるので

cos(θ+π/2)=-sin(θ)
sin(θ+π/2)=cos(θ)

となります。

同様にしていけば、視覚的に問題を解くことが可能となります。

①、②についてはsin(θ)が奇関数、cos(θ)が偶関数であることを示しています。



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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

倍角

こんばんわ。

今日は2倍角、3倍角について書こうと思います。

sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)

においてx=y=θとすれば

sin(2θ)
=sinθcosθ+cosθsinθ
=2 sinθcosθ

また、
cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)

においても同様に

cos(2θ)
=(cosθ)^2-(sinθ)^2
=2(cosθ)^2-1
=1-2(sinθ)^2

が成り立ちます。

x=θ、y=2θ
とすれば、三倍角の公式が得られます。
(2θの部分は二倍角の公式にあてはめます。)

つまり
sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)
cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)

これさえマスターしていれば、倍角の公式が導き出せます。

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加法定理

こんばんは。
今日は加法定理について書きたいと思います。

sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)
cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)



上図において、∠POQ=β-α であるとします。

三角形POQについて余弦定理を使うと

PQ^2=1+1-2cos(β-α)・・・・①

また、P、Qの座標はそれぞれP(cosβ,sinβ), Q(cosα,sinβ)
であるから

PQ^2=(cosβ-cosα)^2+(sinβ-sinβ)^2
=-2(cosαcosβ+sinαsinβ)・・・・・②

①、②より

cos(β-α)=cosαcosβ+sinαsinβ

β→x -α→y

と改めて書くと

cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)

となります。

また、sinのほうは

sin(x+y)=cos(π/2-(x+y))
=cos(π/2-x)cos(y)+sin(π/2-x)sin(y)
=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)

となります。

タンジェントの加法定理はありますが、覚えてません。
上記二つの公式がわかれば導き出せます。

tan(x+y)=sin(x+y)/cos(x+y)
=(sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y))/(cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y))  (分子、分母をcos(x)cos(y)で割る)
=(tan(x)+tan(y))/(1-tan(x)tan(y))



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三角関数

今日は三角関数について書きたいと思います。
次の図のような直角三角形では


sinθ=AC/AB,
cosθ=BC/AB,
tanθ=AC/BC

とあらわされます。

θについてはラジアンであらわします。
例えば
60°→π/3
90°→π/2
です。

この場合は、三角形が成り立つ場合だけを考えているので0<θ<π
ですが、以下のような単位円(半径が1の円 x^2+y^2=1)を考えると



円上の点Pの座標(x,y)を用いて

sinθ=y
cosθ=x
tanθ=y/x

とあらわすことができ、0≦θ<2π
まで拡張することができます。

2π≦θのときは点Pが(1,0)に戻ってしまうので
sinθ=sin(θ-2π)
となります。

逆回転も含め、何周しても値は変わらないので、
sin(θ+2nπ)=sinθ  n:整数
です。
cos,tanについても同様に成り立ちます。

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