こんばんわ。
今日はa^xの微分を考えます。
f(x)=a^x とします。
前回合成関数の微分をやったので、それを使って
やってみます。
両辺を自然対数eを底とする対数を取ります。
ここがポイントだったりします。
�，修發修蘯�然対数って何？
��eを底とするって何？
��なんで対数にするの？
�，砲弔い討蓮�e=2.71828・・・という数で
e=lim(h→0)(1+h)^(1/h)
で定義されています。
�△燭箸┐�log23は
２を(log23)乗すると３になる数です。
２を１乗すると２、２乗すると４になりますので、
1＜log23＜2
となることがわかります。
loge5であれば
eを(loge5)乗すると５になる数です。
eは2.718・・・ですから
eの１乗は2.718・・・
eの２乗は7.3・・・
なので、
1＜loge5＜2
です。
まわりくどくなりましたが、eを底とするということは
loge（ほにゃらら）とする、ということです。
��なんで対数にするかというと、右辺がそのままだと難しそうだからです。
logをとることによってxが前に出てきます。
底は何だっていいじゃん！！と思われると思います。その通りです。
２でも３でもいいのですが、左辺を微分するときにeのほうが
やりやすいからです。
はい、ではやってみましょう。
f(x)=a^x
両辺をeを底とする対数をとる
loge(f(x))=loge(a^x)
（これ以降eは省略します）
log(f(x))=xlog(a)
xが前にでてくる。
はい、ここで合成関数の微分です。
log(x)の微分は1/xです。（これはあとでやります。）
f(g(x))の微分はf'(g(x))*g'(x)なので、
それをあてはめてみると
(log(f(x)))'=(1/f(x))*f'(x)
となります。感覚的には、log(f(x))をxで微分したいけど
できないからf(x)で微分して、そのあとf(x)を微分したのをかけてしまえ
となります。これで左辺はなんとかなりました。
xlog(a)の微分はＯＫですよね？log(a)はただの定数です。xで微分するのでlog(a)となります。
よって
(1/f(x))*f'(x)=log(a)
両辺にf(x)をかけると
f'(x)=f(x)log(a)
f'(x)=(a^x)log(a)
あら,ふしぎ。log(a)がくっつくんだね〜。
こんばんわ。
今日はtan(x)の微分をやりたいと思います。
f(x)=tan(x) とします。
いろいろやりかたはあると思いますが、以前sinとcosの微分を
やったので、それを使ってできないかーというアプローチで
いきたいと思います。
基本に立ち返って、tan(x)=sin(x)/cos(x) ですので
f(x)=sin(x)/cos(x)
このまま微分の定義に入れて整理すればなんとなく答えは出そうな
気がしますが、あえて合成関数の微分を考えたいと思います。
たとえば、
f(x)=g(x)h(x)
であるとすると
f'(x)
=lim(t→0){(g(x+t)h(x+t)-g(x)h(x))/t}
=lim(t→0){(g(x+t)/t)h(x+t)-g(x)h(x)/t}
=lim(t→0){h(x+t)(g(x+t)-g(x)+g(x))/t-g(x)h(x)/t}
=lim(t→0){h(x+t)(g(x+t)-g(x))/t+h(x+t)g(x)/t-g(x)h(x)/t}
=lim(t→0){((g(x+t)-g(x))/t)h(x+t)+g(x)(h(x+t)-h(x))/t}
=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)
となります。
はい、ここで
g(x)=sin(x)
h(x)=1/cos(x)
としたらどうでしょうか。
g'(x)=cos(x)
は以前やったのでＯＫだと思います。
問題はh(x)のほうです。これを合成関数と見てみます。
合成関数は
h(x)=u(v(x))
のような形をしています。
------------------------------------------
たとえば
u(x)=x^2、v(x)=log(x)
であればu(x)のxのところにlog(x)をいれて
h(x)=(log(x))^2
となります。
------------------------------------------
合成関数の微分はどうなるのかというと、
h'(x)
=lim(t→0){(u(v(x+t))-u(v(x)))/t}
=lim(t→0){((u(v(x+t))-u(v(x)))/(v(x+t)-v(x)))*(v(x+t)-v(x))/t}
ここで、v(x+t)-v(x)=Δとおいてみると、ｔ→0のときΔ→0
(u(v(x+t))-u(v(x)))/(v(x+t)-v(x))
=(u(v(x)+Δ)-u(v(x)))/Δ
よって
h'(x)
=lim(Δ→0){(u(v(x)+Δ)-u(v(x)))/Δ}*lim(t→0){(v(x+t)-v(x))/t}
=u'(v(x))v'(x)
となるので、
u(x)=1/x,
v(x)=cos(x)
とすると、(u(v(x))=1/cos(x))
u'(v(x))=-1/(cos(x))^2
v'(x)=-sin(x)
よって
h'(x)=sin(x)/(cos(x))^2
f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)
にそれぞれ代入して
f'(x)
=cos(x)/cos(x)+sin(x)sin(x)/(cos(x))^2
=1+(sin(x)/cos(x))^2
=((cos(x))^2+(sin(x))^2)/(cos(x))^2
=1/(cos(x))^2
おはようございます。
以前変曲点について記載しましたが、
x^3においては、x=0の点は停留点となっていましたので、
別の例を出したいと思います。
f(x)=2x^3-3x^2-12x+1
の場合はどうでしょうか
f'(x)
=6x^2-6x-12
=6(x^2-x-2)
=6(x-2)(x+1)
f'(x)=0とすると
x=-1,2
となり、この点は極大値か極小値でござる。
f''(x)
=12x-6
f''(x)=0とするとx=1/2 ←ここが変曲点
増減表を書いてみます。
(1/2,-11/2)が変曲点でござる。
はい、こんばんわ。
今日はcosの微分ですよ〜。
いつもどおりの定義から。
f(x)=cos(x)
f'(x)
=lim(h→0){(cos(x+h)-cos(x))/h}
ここで、前回と同様に加法定理でござる。
=lim(h→0){(cos(x)cos(h)-sin(x)sin(h)-cos(x))/h}
cos(x)でまとめる
=lim(h→0){(cos(x)(cos(h)-1)-sin(x)sin(h))/h}
分子と分母に(cos(h)+1)をかける
=lim(h→0){(cos(x)((cos(h))^2-1)/(cos(h)+1)-sin(x)sin(h))/h}
cosをsinにして
=lim(h→0){(-cos(x)(sin(h))^2/(cos(h)+1)-sin(x)sin(h))/h}
sin(h)/hの形を作る。
=lim(h→0){(-cos(x)sin(h)(sin(h)/h)/(cos(h)+1)-sin(x)(sin(h)/h)}
=-sin(x)
だだだーと式変形してしまいました。
流れはsinと同じです。
cosを微分すると,マイナスがくっついてsinになることがわかります。
長いこと書いてませんでした。
前回はf(x)=x^nの微分でした。実は
（２）については n=1 の場合、
（３）については n=2 の場合、
（４）については n=3 の場合、
（５）については n=-1 の場合、
（６）については n=-2 の場合
を示しており、f'(x)=n・x^(n-1)
に当てはめると解がすぐ出てきます。
これはnが整数の場合に成り立ちますが、分数でも成り立ちます。
たとえば√xの微分であればx^(1/2)と考えてn=1/2としてやればＯＫです。
さて、今回はsin(x)の微分です。
いつもどおり定義にしたがって微分してみます。
f(x)=sin(x)
f'(x)
=lim(h→0){(sin(x+h)-sin(x))/h}・・・��
うをっ、これ以上どうしろと・・・・
と思われるのではないでしょうか。
もうここは変形しかないでしょう。
sin(x+h)とでてきたら、加法定理しか思いつきません。
sin(x+h)
=sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)
sin(x+h)-sin(x)
=sin(x)(cos(h)-1)+cos(x)sin(h)
(sin(x+h)-sin(x))/h
=sin(x)(cos(h)-1)/h+cos(x)sin(h)/h・・・・��
うをっ、つ、つまった・・・。
しかーし、ここでうまく変形する術があるのです。
赤字にした部分がヒントです。
h→0にするんだから、２項目は収束する。１項目がわからない、という状況です。
（ lim(h→0){sin(h)/h} についてはあとで詳しく・・・）
極限値を求めるときは、極限値が出る式に変形してやればＯＫです。
そして、思い出して欲しいのが、sinとcosは友達であるということっ・・・・！！
(cos(h))^2+(sin(h))^2=1・・・・��
単位円（半径が1の円）を描いてみてくだされ。x座標かcos(h),y座標がsin(h)です！！
三平方の定理で��の式が出てきますよ〜。
さて、��をさらに変形します。
(cos(h))^2-1=-(sin(h))^2
うほっ、ちょっと近づいた！！
あ、これ因数分解したらいけそうかも
(cos(h)-1)(cos(h)+1)=-(sin(h))^2
cos(h)-1=-(sin(h))^2/(cos(h)+1)・・・・��
�い鬮△裡厩爐紡綟�します。
(sin(x+h)-sin(x))/h
=-sin(x)sin(h)(sin(h)/h)/(1+cos(h))+cos(x)(sin(h)/h)・・・・��
慣れてくると、(cos(h)-1)の分子と分母(=1)に(cos(h)+1)をかけて
sin(h)を出してしまえ〜となります。
�イ亮阿如�h→0とするとどうでしょうか。
lim(h→0){sin(h)}→0
lim(h→0){sin(h)/h}→1
lim(h→0){1+cos(h)}→2
結局�，�
f'(x)
=lim(h→0){(sin(x+h)-sin(x))/h}
=lim(h→0){-sin(x)sin(h)(sin(h)/h)/(1+cos(h))+cos(x)(sin(h)/h)}
=cos(x)
ここでもsin,cosは友達ぶりを発揮するのでした・・・
